English
Alligation is a shortcut to find the ratio in which two things (at different prices or concentrations) are mixed to get a desired average. It turns long algebra into one quick cross.
THE ALLIGATION RULE
When two ingredients are mixed:
(Quantity of cheaper) / (Quantity of dearer) = (Dearer price − Mean price) / (Mean price − Cheaper price).
In words: write the two values on top corners, the mean in the middle, and take diagonal differences.
REPEATED REPLACEMENT
If a container has V litres of liquid and x litres are removed and replaced with water each time, after n operations:
Pure liquid left = V × (1 − x/V)^n.
SOLVED EXAMPLES
1) In what ratio mix rice at ₹20/kg and ₹30/kg to get ₹24/kg?
Cheaper:Dearer = (30 − 24) : (24 − 20) = 6 : 4 = 3 : 2.
2) Milk-water: 40 L pure milk; 4 L removed and replaced with water twice. Milk left = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × (0.9)² = 32.4 L.
EXAM ANGLE: Use alligation whenever a "mean/average value" is formed by mixing two groups — prices, ages, percentages, or speeds.
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हिंदी
ऐलिगेशन एक शॉर्टकट है जिससे यह ज्ञात होता है कि दो वस्तुओं (भिन्न मूल्य या सांद्रता वाली) को किस अनुपात में मिलाएँ ताकि वांछित औसत मिले। यह लंबी बीजगणित को एक त्वरित क्रॉस में बदल देता है।
ऐलिगेशन नियम
जब दो अवयव मिलाए जाते हैं:
(सस्ते की मात्रा) / (महँगे की मात्रा) = (महँगा मूल्य − माध्य मूल्य) / (माध्य मूल्य − सस्ता मूल्य)।
शब्दों में: दो मान ऊपरी कोनों पर लिखें, माध्य बीच में, और विकर्ण अंतर लें।
बार-बार प्रतिस्थापन
यदि किसी पात्र में V लीटर द्रव है एवं हर बार x लीटर निकालकर पानी मिलाया जाए, तो n बार बाद:
शेष शुद्ध द्रव = V × (1 − x/V)^n।
हल किए उदाहरण
1) ₹20/किग्रा एवं ₹30/किग्रा चावल किस अनुपात में मिलाएँ ताकि ₹24/किग्रा मिले?
सस्ता:महँगा = (30 − 24) : (24 − 20) = 6 : 4 = 3 : 2।
2) दूध-पानी: 40 लीटर शुद्ध दूध; 4 लीटर निकालकर पानी दो बार मिलाया। शेष दूध = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × (0.9)² = 32.4 लीटर।
परीक्षा दृष्टि: जब भी दो समूहों को मिलाकर "माध्य/औसत मान" बने — मूल्य, आयु, प्रतिशत या चाल — ऐलिगेशन प्रयोग करें।
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