English
HCF and LCM look basic but power many word problems (bells ringing together, fitting tiles, syncing schedules). Get the two ideas straight and the rest follows.
THE TWO IDEAS
• HCF (Highest Common Factor / GCD) = the largest number that divides all the given numbers.
• LCM (Lowest Common Multiple) = the smallest number divisible by all the given numbers.
METHODS
• Prime factorisation: HCF = product of common prime factors (lowest powers); LCM = product of all prime factors (highest powers).
• Division method works well for two large numbers.
KEY FORMULAS
• For two numbers: HCF × LCM = product of the two numbers.
• For fractions: HCF of fractions = HCF(numerators) / LCM(denominators); LCM of fractions = LCM(numerators) / HCF(denominators).
SOLVED EXAMPLES
1) HCF of 12 and 18: common factors → 2 × 3 = 6.
2) LCM of 12 and 18: 2² × 3² = 36. Check: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. ✓
3) Bells ring at 6, 8 and 12 second intervals; together again after LCM(6,8,12) = 24 seconds.
EXAM ANGLE: "Together again / smallest common" → LCM. "Largest equal groups / greatest divisor" → HCF.
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हिंदी
HCF एवं LCM मूलभूत लगते हैं पर कई शाब्दिक प्रश्नों (घंटियाँ एक साथ बजना, टाइलें बैठाना, समय-सारणी मिलाना) की रीढ़ हैं। दोनों विचार स्पष्ट कर लें, बाक़ी सरल है।
दो विचार
• HCF (महत्तम समापवर्तक / GCD) = वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को विभाजित करे।
• LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) = वह सबसे छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से विभाज्य हो।
विधियाँ
• अभाज्य गुणनखंड: HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल (न्यूनतम घात); LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल (अधिकतम घात)।
• बड़ी दो संख्याओं हेतु भाग विधि अच्छी रहती है।
प्रमुख सूत्र
• दो संख्याओं हेतु: HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।
• भिन्नों हेतु: भिन्नों का HCF = HCF(अंश) / LCM(हर); भिन्नों का LCM = LCM(अंश) / HCF(हर)।
हल किए उदाहरण
1) 12 एवं 18 का HCF: सामान्य गुणनखंड → 2 × 3 = 6।
2) 12 एवं 18 का LCM: 2² × 3² = 36। जाँच: 6 × 36 = 216 = 12 × 18। ✓
3) घंटियाँ 6, 8 एवं 12 सेकंड पर बजती हैं; पुनः साथ LCM(6,8,12) = 24 सेकंड बाद।
परीक्षा दृष्टि: "पुनः एक साथ / सबसे छोटी सामान्य" → LCM। "सबसे बड़े समान समूह / सबसे बड़ा भाजक" → HCF।
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